алгебра логіки

Матеріал з Вікіпедії - вільної енциклопедії

Алгебра логіки (алгебра висловлювань) - розділ математичної логіки , В якому вивчаються логічні операції над висловлюваннями [1] . Найчастіше передбачається, що висловлювання можуть бути тільки істинними або помилковими, тобто використовується так звана бінарна або двійкова логіка, на відміну від, наприклад, троичной логіки .

Базовими елементами, якими оперує алгебра логіки, є висловлювання .

Висловлювання будуються над безліччю {B, ¬ {\ displaystyle \ lnot} , ∧ {\ displaystyle \ land} , ∨ {\ displaystyle \ lor} , 0, 1}, де B - непорожня множина, над елементами якого визначено три операції :

¬ {\ displaystyle \ lnot} заперечення

( унарна операція ), ∧ {\ displaystyle \ land} кон'юнкція ( бінарна ), ∨ {\ displaystyle \ lor} диз'юнкція ( бінарна ),

а логічний нуль 0 і логічна одиниця 1 - константи .

Так само використовуються назви

Унарна операція заперечення в тексті формул оформляється або у вигляді значка перед операндом (¬ x {\ displaystyle \ lnot x} ) Або у вигляді риси над операндом (x ¯ {\ displaystyle {\ bar {x}}} ), Що компактніше, але в цілому менш помітно.

1. x ¯ ¯ = x {\ displaystyle {\ bar {\ bar {x}}} = x} , інволютивними заперечення , закон зняття подвійного заперечення
2. x ∨ x ¯ = 1 {\ displaystyle x \ lor {\ bar {x}} = 1}
3. x ∨ 1 = 1 {\ displaystyle \ x \ lor 1 = 1}
4. x ∨ x = x {\ displaystyle \ x \ lor x = x}
5. x ∨ 0 = x {\ displaystyle \ x \ lor 0 = x}
6. x ∧ x ¯ = 0 {\ displaystyle \ x \ land {\ bar {x}} = 0}
7. x ∧ x = x {\ displaystyle \ x \ land x = x}
8. x ∧ 0 = 0 {\ displaystyle \ x \ land 0 = 0}
9. x ∧ 1 = x {\ displaystyle \ x \ land 1 = x}

Найпростіший і найбільш широко застосовуваний приклад такої алгебри будується з використанням безлічі B, що складається всього з двох елементів:

B = {Брехня, Істина}

Як правило, в математичних виразах Брехня ототожнюється з логічним нулем, а Істина - з логічною одиницею, а операції заперечення (НЕ), кон'юнкції (І) і диз'юнкції (АБО) визначаються в звичному нам розумінні. Легко показати, що на даній множині B можна задати чотири унарні і шістнадцять бінарних відносин і всі вони можуть бути отримані через суперпозицію трьох обраних операцій.

Спираючись на цей математичний інструментарій, логіка висловлювань вивчає висловлювання і предикати . Також вводяться додаткові операції, такі як еквіваленція ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow} ( «Тоді і тільки тоді, коли»), імплікація → {\ displaystyle \ rightarrow} ( «Отже»), додавання по модулю два ⊕ {\ displaystyle \ oplus} ( « виключає або »), штрих Шеффера | {\ Displaystyle \ mid} , стрілка Пірса ↓ {\ displaystyle \ downarrow} та інші.

логіка висловлювань послужила основним математичним інструментом при створенні комп'ютерів. Вона легко перетворюється в бітову логіку: істинність висловлювання позначається одним бітом (0 - БРЕХНЯ, 1 - ІСТИНА); тоді операція ¬ {\ displaystyle \ neg} набуває сенсу вирахування з одиниці; ∨ {\ displaystyle \ lor} - немодульность складання; & - множення; ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow} - рівності; ⊕ {\ displaystyle \ oplus} - в буквальному сенсі складання по модулю 2 (виключає Або - XOR); | {\ Displaystyle \ mid} - непревосходства суми над 1 (тобто A | {\ displaystyle \ mid} B = (A + B) <= 1).

Згодом булева алгебра була узагальнена від логіки висловлювань шляхом введення характерних для логіки висловлювань аксіом. Це дозволило розглядати, наприклад, логіку кубітів , Потрійну логіку (коли є три варіанти істинності висловлювання: «істина», «брехня» і «не визначено»), комплексну логіку і ін.

1. комутативність : X ∘ y = y ∘ x, ∘ ∈ {∧, ∨, ⊕, ~, |, ↓} {\ displaystyle x \ circ y = y \ circ x, \ circ \ in \ {\ land, \ lor, \ oplus, \ sim, \ mid, \ downarrow \}} .
2. ідемпотентність : X ∘ x = x, ∘ ∈ {∧, ∨} {\ displaystyle x \ circ x = x, \ circ \ in \ {\ land, \ lor \}} .
3. асоціативність : (X ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z), ∘ ∈ {∧, ∨, ⊕, ~} {\ displaystyle (x \ circ y) \ circ z = x \ circ (y \ circ z) , \ circ \ in \ {\ land, \ lor, \ oplus, \ sim \}} .
4. дистрибутивність кон'юнкція і диз'юнкції відносно диз'юнкції, кон'юнкції і суми по модулю два відповідно:
5. Закони де Моргана :
6. Закони поглинання:
7. Інші (1):
8. Інші (2):
9. Інші (3) (Додаток законів де Моргана):

Існують методи спрощення логічної функції: наприклад, Карта Карно , метод Куайна - Мак-Класки

Своїм існуванням наука «алгебра логіки» завдячує англійському математику Джорджу Булю , Який досліджував логіку висловлювань . Перший в Росії курс з алгебри логіки був прочитаний П. С. Процюк в Казанському державному університеті .