ЄДІ 2018: рішення завдання на ймовірність

1. Завдання тільки на визначення ймовірності
2. Завдання з використанням елементів комбінаторики
3. Рішення задач з застосуванням таблиць
4. Завдання на правила додавання і множення ймовірностей
5. Рекомендую почитати:

Цей розділ містить першу частину завдань по теорії ймовірностей, які досить прості для того, щоб їх могли помістити не тільки в варіант іспиту ЄДІ з математики профільного рівня, але і в варіант ЄДІ базового рівня або в варіант ОГЕ для 9-го класу.

У демонстраційних варіантах ЄДІ 2018 року завдання на перевірку знань елементів теорії ймовірностей можуть зустрітися під номером 10 для базового рівня і під номером 4 для профільного рівня.

Вчитися вирішувати такі завдання краще поетапно.

1. Завдання тільки на визначення ймовірності
2. Завдання з використанням елементів комбінаторики
3. Рішення задач з застосуванням таблиць
4. Завдання на правила додавання і множення ймовірностей

Завдання тільки на визначення ймовірності

Для вирішення більшості наступних завдань досить повторити класичне визначення ймовірності події: Ймовірністю події А називається дріб в чисельнику якого стоїть число m елементарних подій, що сприяють події А, а в знаменнику n - число всіх елементарних подій.

Таким чином, щоб вирішити задачу потрібно підрахувати число сприятливих і число всіх можливих елементарних подій.
Згадаймо - елементарні події (результати випробування) попарно несумісні і рівноможливими. Іноді це очевидно, а іноді варто задуматися. "Попарно несумісні" означає, наприклад, що одна людина не може одночасно їхати в двох автобусах. Чи не є "рівно можливими", наприклад, зустрічі на вулиці з динозавром і собакою.

Зверніть увагу на виділені формулювання. Часто буває, що умови двох завдань відрізняються тільки одним словом, а рішення можуть бути прямо протилежними. І навпаки, здавалося б різні питання, але фактично про одне й те ж. Будьте уважні!

Не забудьте, що сприяють подій не може бути більше, ніж взагалі всіх можливих, а значить чисельник дробу ніколи не перевищить знаменник. У відповіді на питання про ймовірність події повинно бути число, яке задовольняє умові 0 ≤ P ≤ 1. Якщо ви отримали іншу відповідь, він свідомо невірний.

приклад 1

На борту літака 12 місць поруч з запасними виходами і 18 місць за перегородками, що розділяють салони. Решта місць незручні для пасажира високого зросту. Пасажир В. високого зросту. Знайдіть ймовірність того, що на реєстрації при випадковому виборі місця пасажиру В. дістанеться зручне місце, якщо все в літаку 300 місць.

Рішення

Якщо "інші місця незручні", то зручні саме згадані 12 + 18 = 30 місць.
Пасажиру В. може дістатися одне будь-яке місце з 300 місць в літаку, значить все можливих подій n = 300. Але "придатними" будуть тільки ті з них, коли пасажир В. потрапив на зручне місце, таких подій, як і місць, m = 30.

Відповідь: 0,1

У прикладі, який представлений вище, реалізується найпростіше поняття елементарної події. Так як одна людина здатна зайняти лише одне місце, події незалежні. А так як в умови спеціально обумовлено, що при реєстрації місце вибиралося випадково, то рівноможливими. Тому, фактично, ми вважали не події, а місця в літаку.

приклад 2

У групі туристів 30 осіб. Їх вертольотом в кілька прийомів закидають у важкодоступний район по 6 чоловік за рейс. Порядок, в якому вертоліт перевозить туристів, випадковий. Знайдіть ймовірність того, що турист П. полетить першим рейсом вертольота.

Рішення

Визначимо, скільки всього рейсів повинен зробити вертоліт
30: 6 = 5 (рейсів).
Турист П. може полетіти будь-яким, але "сприятливим" буде тільки один з них - перший. Отже n = 5, m = 1.

Відповідь: 0,2

У цьому прикладі, вже слід задуматися про те, що являє собою елементарне подія. Тут це сформований рейс вертольота. Одна людина може потрапити тільки на один рейс, тобто тільки в одну групу з 6-ти чоловік, - події незалежні. За умовою завдання порядок рейсів випадковий, тобто всі рейси для кожної групи рівноможливими. Вважаємо рейси.

приклад 3

З безлічі натуральних чисел від 10 до 19 навмання вибирають одне число. Яка ймовірність того, що воно ділиться на 3?

Рішення

Випишемо в ряд задані числа і відзначимо ті з них, які діляться на 3.

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

Виходить, що з 10 заданих чисел на 3 діляться 3 числа.
Знаходимо відповідь по загальній формулі

Відповідь: 0,3

Зауваження.

Цей спосіб вирішення відноситься до найпростішого нагоди, коли відрізок ряду короткий, і його легко виписати явно. Що буде, якщо завдання змінити, наприклад, так:

З безлічі натуральних чисел від 107 до 198 навмання вибирають одне число. Яка ймовірність того, що воно ділиться на 3?

Тоді доведеться згадати, що "на 3 ділиться кожне третє число в натуральному ряду" (на 4 - кожне четверте, на 5 кожне п'яте ...) і визначити кількість груп з трьох чисел на ділянці ряду від 107 до 198.
1, 2, ..., 105, 106, 107, 108, ..., 197, 198, 199, ...
На цій ділянці всього 92 числа: 198 - 106 = 92.
Вони складають 30 повних груп і одну неповну (92/3 = 30 цілих і 2 в залишку). У кожній повній групі є одне число, яке ділиться на 3. У неповній групі, яку складають два останніх числа, 197 не ділиться 3, а 198 ділиться. Разом у нас 30 + 1 = 31 "що сприяє" число з "всього" 92-ох.

Тепер перевірте себе.

Для посилення навчального ефекту відповіді і рішення завантажуються окремо для кожного завдання послідовним натисканням кнопок на жовтому тлі. (Коли завдань багато, кнопки можуть з'явитися з затримкою. Якщо кнопок не видно зовсім, перевірте, чи дозволений у вашому браузері JavaScript.)

завдання 1

У збірнику квитків по біології всього 55 квитків, в 11 з них зустрічається питання з ботаніки. Знайдіть ймовірність того, що в випадково обраному на іспиті квитку школяреві дістанеться питання з ботаніки.

Рішення

Подія A - "вибір квитка з питанням з ботаніки". Вибрати можна тільки один квиток (події попарно несумісні), всі квитки однакові (події рівноможливими) і всі квитки доступні школяреві (повна група). Значить подія "вибір квитка" є елементарним. Всього таких подій стільки ж, скільки квитків, тобто n = 55. сприяють події стільки ж, скільки квитків з питанням з ботаніки, тобто m = 11. За формулою P (A) = 11/55 = 1/5 = 0,2.

Відповідь: 0,2

Зауваження: Справді "побутова" ситуація настільки знайома і проста, що інтуїтивно зрозуміло, які події є елементарними, і які придатними. Далі я не буду детально описувати цю частину рішення, якщо в цьому не буде потреби.

Завдання 2.

У збірнику квитків з математики всього 25 квитків, в 10 з них зустрічається питання по нерівностям. Знайдіть ймовірність того, що в випадково обраному на іспиті квитку школяреві не дістанеться питання по нерівностям.

Рішення

Спосіб I.
Подія A - "вибір квитка без питання по нерівностям". Всього 25 квитків, якщо в 10 квитках є питання по нерівностям, то в 25 - 10 = 15 квитках його немає. Таким чином, загальне число можливих результатів n = 25, число випадків, що сприяють події А, m = 15. За формулою P (A) = 15/25 = 3/5 = 0,6.
Спосіб II.
Подія A - "вибір квитка c питанням по нерівностям". Також, як в завданні 1, отримуємо P (A) = 10/25 = 2/5 = 0,4. Але питання цього завдання протилежний питання завдання 1, тобто нам потрібна ймовірність протилежної події В - "вибір квитка без питання по нерівностям". Імовірність протилежної події обчислюємо за формулою P (B) = 1 - P (A) = 1 - 0,4 = 0,6.

Відповідь: 0,6

завдання 3

У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 8 з Росії, 7 з США, решта - з Китаю. Порядок, в якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю.

Рішення

Подія A - "першої виступає гімнастка з Китаю".
Щоб визначити число випадків, давайте спочатку задумаємося, що таке результат жеребкування? Що будемо приймати за елементарне подія? Якщо будемо уявляти собі процедуру, коли одна спортсменка вже витягла кульку з номером виступу, а друга повинна щось витягнути з решти, то буде складне рішення з використанням умовної ймовірності. Відповідь отримати можна (див., Наприклад, спосіб II в завданні 6). Але навіщо залучати складну математику, якщо можна розглянути "побутову" ситуацію під іншим кутом зору?
Уявімо собі, що жеребкування завершена, і кожна гімнастка вже тримає кульку з номером в руці. У кожної тільки одну кульку, на всіх кульках різні номери, кулька з номером "1" тільки в однієї зі спортсменок. У який? Організатори жеребкування зобов'язані зробити так, щоб всі спортсменки мали рівні можливості отримати цю кульку, інакше вона буде несправедливою. Значить подія - "кулька з номером" 1 "у спортсменки" - є елементарним.
Всього спортсменок n = 20, що сприяє подія - кулька з номером "1" у китаянки, всього спортсменок з Китаю m = 20 - 8 - 7 = 5. За формулою P (A) = 5/20 = 1/4 = 0,25 .

Відповідь: 0,25

завдання 4

У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів з Данії, 9 спортсменів зі Швеції і 5 - з Норвегії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції.

Рішення

Аналогічно попередній задачі.
Подія A - "останнім виступає спортсмен зі Швеції". Елементарне подія - "останній номер дістався конкретному спортсмену". Всього спортсменів n = 4 + 7 + 9 + 5 = 25. сприяють події - спортсмен, якому дістався останній номер, зі Швеції. Всього спортсменів зі Швеції m = 9.
За формулою P (A) = 5/20 = 9/25 = 0,36.

Відповідь: 0,36

завдання 5

На чемпіонаті зі стрибків у воду виступають 25 спортсменів, серед них 8 стрибунів з Росії і 9 стрибунів з Парагваю. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що шостим виступатиме стрибун з Парагваю.

Рішення

Аналогічно 2-розум попереднім завданням.
Подія A - "шостим виступає стрибун з Парагваю". Елементарне подія - "номер шість у конкретного спортсмена". Всього спортсменів n = 25. сприяють події - спортсмен, у якого номер "6", з Парагваю. Всього спортсменів з Парагваю m = 9.
За формулою P (A) = 9/25 = 0,36.

Відповідь: 0,36

Зауваження: Останні три завдання, по суті, абсолютно однакові, але з першого погляду їх питання здаються різними. Навіщо? Щоб заплутати школяра? Ні, в укладачів інше завдання: на іспиті має бути багато різних варіантів однаковою мірою труднощі. Отже, не треба лякатися "каверзні питання", треба розглядати ситуацію, яка описується в задачі, з усіх боків.

завдання 6

Конкурс виконавців проводиться в 5 днів. Всього заявлено 80 виступів - по одному від кожної країни. У перший день 8 виступів, інші розподілені порівну між рештою днями. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що виступ представника Росії відбудеться в третій день конкурсу?

Рішення

Спосіб I.
Подія A - "виступ представника Росії відбудеться в третій день". Одне виступ можна вважати елементарним подією, так як представники від всіх країн рівноправні (по одному від кожної країни). Всього n = 80 виступів. У перший день 8 виступів, в решту 5 - 1 = 4 дня по (80 - 8) / 4 = 18 виступів. Значить в третій день відбудеться 18 виступів - це сприятливі для росіянина події, m = 18.
За формулою P (A) = 18/80 = 9/40 = 0,225.

Спосіб II.
Нехай подія A - "виступ представника Росії відбудеться в третій день", подія B - "виступ представника Росії не відбудеться в перший день", подія С - "виступ представника Росії відбудеться в третій день за умови, що він не виступав в перший день" .
За визначенням умовної ймовірності P (A) = P (B) · P (C).
Чи не виступлять в перший день 80 - 8 = 72 людини. За формулою P (B) = 72/80 = 9/10 = 0,9.
Якщо виступ представника Росії не потрапить на перший день, то він має однакові шанси виступити в будь-який з наступних 4-ох днів (інші виступи розподілені рівномірно, а значить дні рівноможливими). За формулою P (C) = 1/4 = 0,25.
Отже P (A) = 0,9 · 0,25 = 0,225.

Відповідь: 0,225

Зауваження: Завдання теорії ймовірностей часто вирішуються різними способами. Вибирайте для себе той, який зрозуміліше саме вам.

завдання 7

В середньому з 1000 садових насосів, які надійшли в продаж, 5 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково обраний для контролю насос чи не підтікає.

Рішення

Подія A - "вибраний насос чи не підтікає".
Всього насосів n = 1000. З них 5 підтікають, значить не підтікають m = 1000 - 5 = 995.
За формулою P (А) = 995/1000 = 0,995.

Відповідь: 0,995

завдання 8

Фабрика випускає сумки. В середньому на 100 якісних сумок доводиться вісім сумок з прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною. Результат округлите до сотих.

Рішення

Подія A - "куплена сумка якісна".
Всього n = 100 + 8 = 108 сумок (100 якісних і 8 з дефектами). Якісних m = 100 сумок.
За формулою P (А) = 100/108 = 0,9259259 ≈ 0,93.

Відповідь: 0,93

Зауваження 1: Порівняйте цю і попередню завдання. Як важливо уважно ставитися до кожного слова в умови!
Зауваження 2: Правила округлення ми повторювали при вирішенні текстових завдань.

завдання 9

Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадковим чином за допомогою жереба. Всього в чемпіонаті бере участь 26 бадмінтоністів, серед яких 10 учасників з Росії, в тому числі Руслан Орлов. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Руслан Орлов буде грати з будь-яким бадмінтоністи з Росії?

Рішення

Подія A - "Руслан Орлов буде грати з бадмінтоністи з Росії".
Змагання з бадмінтону, зазвичай, проводяться з вибуванням, і тільки в першому турі беруть участь всі 26 бадмінтоністів. Але число всіх можливих результатів не дорівнює 26, n = 26 - 1 = 25, тому що Руслан Орлов не може грати з самим собою. З тієї ж причини m = 10 - 1 = 9, адже Руслан Орлов входить в число 10 учасників з Росії.
За формулою P (А) = 9/25 = 0,36.

Відповідь: 0,36

Завдання з використанням елементів комбінаторики

У цих завданнях відповідь також визначається за формулою P (A) = m / n, але підрахунок числа n всіх можливих подій і числа m сприяють подій помітно важче, ніж в попередніх випадках. Для цього використовують різні методи перебору варіантів і допоміжні малюнки, таблиці, графи ( "дерево можливостей"). Полегшити ситуацію можуть правила додавання і множення варіантів, а також готових рецептів комбінаторики: формули для числа перестановок, сполучень, розміщень.

Правило складання: якщо деякий об'єкт A можна вибрати k способами, а об'єкт B - l способами (не такими як А), то об'єкт "або А або В" можна вибрати m + l способами.

Правило множення: якщо об'єкт А можна вибрати k способами, а після кожного такого вибору інший об'єкт В можна вибрати (незалежно від об'єкта А) l способами, то пари об'єктів А і B можна вибрати m · l способами.

Правило множення ще називають "І-правилом", а правило складання "АБО-правилом". Не забувайте перевірити незалежність способів для "І" і несумісність (не такими) для "АБО".

Наступні завдання можна вирішувати як перебором варіантів, так і за допомогою формул комбінаторики . Я даю кілька способів вирішення для кожного завдання, тому що одним способом її можна вирішити швидко, а іншим довго, і тому що комусь зрозуміліше один підхід, а кому-то інший. Але це не означає, що обов'язково потрібно розбирати всі способи. Краще добре засвоїти один улюблений. Вибір за вами.

приклад 4

У випадковому експерименті симетричну монету кидають п'ять разів. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде двічі.

Це завдання можна вирішити кількома способами. Розглянемо той, який соответствунт заголовку розділу, а саме тільки застосуванням формул комбінаторики.

Рішення

У кожному з п'яти бросаний монети може реалізуватися один з результатів - орел чи решка - для стислості "про" чи "р". Таким чином, результатом серії випробувань буде група з п'яти букв, складена з двох вихідних, а значить з повтореннями. Наприклад, "оорор" означає, що два рази поспіль випав орел, потім решка, знову орел і знову решка. Отже, щоб обчислити число всіх можливих результатів, потрібно підрахувати число розміщень з n = 2 по k = 5 з повтореннями, яке визначається за формулою Сприятливі результати - орел випаде рівно два рази - представляють собою пятібуквенние "слова", складені з трьох букв "р "і двох" про ", які можуть стояти на різних позиціях, наприклад," opppo "або" poopp ", тобто це перестановки з повтореннями. Їх число визначається за формулою де n = 5 кількість переставляються букв, n o = 2 і n p = 3 - число повторень букв "о" і "р", відповідно.
За формулою класичної ймовірності отримаємо

Відповідь: 0,3125

Однак, якщо Ви не знаєте цих формул, шкільних іспитів з математики не бійтеся. Не тільки на ОГЕ і базовому ЄДІ, а й на ЄДІ профільного рівня, зазвичай пропонують розглянути короткі серії випробувань. У таких випадках Ви зможете виписати і розглянути результати явно. Пробуйте.

завдання 10

У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел чи не випаде ні разу.

Рішення

Спосіб I.
Можна виписати і розглянути всі можливі результати 3-ох бросаний монети: {ооо, ооp, оро, Орр, Роо, рор, рро, ррр}, де про - скорочення від "орел", р - скорочення від "решка". З перерахування видно, що n = 8, m = 1. (котрий сприяє тільки ррр).
За формулою P (А) = 1/8 = 0,125.

Спосіб II.
Можна помітити, що умови випробування задовольняють схемою Бернуллі з p = 1/2 і q = 1/2 і скористатися формулою
P (0) = C03 · (1/2) 0 (1/2) (3-0) = 1 · (1/2) 3 = 1/8 = 0,125.

Відповідь: 0,125

завдання 11

У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.

Рішення

Спосіб I.
Випробування той же і результати ті ж, що в попередньому випадку: {ооо, ооp, оро, Орр, Роо, рор, рро, ррр}. З перерахування видно, що n = 8, m = 3. (Сприятливі: {Орр, рор, рро}).
За формулою P (А) = 3/8 = 0,375.

Спосіб II.
Умови випробування задовольняють схемою Бернуллі з p = 1/2 і q = 1/2, значить за формулою
P (1) = C13 · (1/2) 1 (1/2) (3-1) = 3 · (1/2) 1 · (1/2) 2 = 3/8 = 0,375.

Відповідь: 0,375

завдання 12

У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде хоча б один раз.

Рішення

Спосіб I.
Випробування той же і результати ті ж, що в попередніх випадках: {ооо, ооp, оро, Орр, Роо, рор, рро, ррр}. З перерахування видно, що n = 8, m = 7. (Сприятливі все, крім ооо).
За формулою P (А) = 7/8 = 0,875.

Спосіб II.
За формулою Бернуллі з урахуванням правила складання (хоча б 1 з 3-х = або 1, або 2, або 3)
P (А) = P (1) + P (2) + P (3) = C13 · (1/2) 1 (1/2) (3-1) + C23 · (1/2) 2 (1 / 2)(3-2) + C33·(1/2)3(1/2)(3-3) = (3 + 3 + 1)·(1/2)3 = 7/8= 0,875.

Спосіб III.
Подія "орел випаде хоча б один раз" протилежно події "орел чи не випаде ні разу." Імовірність останнього дорівнює 0,125. Ми визначили її в завданні 10.
Значить P (A) = 1 - 0,125 = 0,875 за формулою для ймовірності протилежної події.

Відповідь: 0,875

завдання 13

У випадковому експерименті симетричну монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел чи не випаде ні разу.

Рішення

Скористаємося правилом множення для незалежних випробувань.
При кожному киданні можливі 2 результату, значить при 4-ох киданнях можливі 2 · 2 · 2 · 2 = 16 результатів.
При кожному киданні орел чи не випаде одним способом, значить при 4-ох киданнях він не випаде 1 · 1 · 1 · 1 = 1 одним способом.
За формулою P (А) = 1/16 = 0,0625.

Відповідь: 0,0625

Зауваження: Звичайно, це завдання можна було б вирішити будь-яким із способів, розглянутих раніше. Але чим більше число можливих результатів, тим довше і безглуздіше вирішувати перебором варіантів.
Для тих, хто інакше не вміє або хоче перевірити коротший рішення довшим, все ж напишу: {oооо, oооp, oоро, oорр, oроо, oрор, oрро, oррр, pооо, pооp, pоро, pорр, pроо, pрор, pрро , pррр}. Але, щоб переконатися, що дійсно виписані всі можливі результати, все одно варто підрахувати число розміщень з 2 по 4 з повтореннями: A- nk = nk; A - 23 = 24 = 16.
Cамий кращий спосіб при великому числі кидання - формула Бернуллі. Спробуйте застосувати її в цьому завданні самостійно.

завдання 14

У Випадкове експеріменті кидають две гральні кісткі. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок. Результат округлите до сотих.

Рішення

Для однієї кістки може бути 6 різних результатів випробування (випадання очок 1,2, ..., 6) і для іншої - 6 випадків незалежних від першої. Загальна кількість можливих результатів при киданні двох кісток визначимо за правилом множення n = 6 × 6 = 36.
Щоб визначити число сприятливих результатів, подивимося з яких доданків виходить сума 8:
1 + 7 = 8; 2 + 6 = 8; 3 + 5 = 8; 4 + 4 = 8; 5 + 3 = 8; 6 + 2 = 8; 7 + 1 = 8.
Перший і останній варіанти є в нашому випадку неможливими подіями, числа 7 немає на звичайних гральних кістках. Решта реалізуються, якщо на одній кістки випадає перший доданок, а на інший кістки - друге. Сприятливі результати { "2; 6", "3; 5", "4; 4", "5; 3", "6; 2"}, всього їх m = 5.
За формулою P (A) = 5/36 = 0,138889 ≈ 0,14.
Способ II.
Для цього завдання добре рахувати варіанти за допомогою таблички. 1 + 1 2 + 1 3 +1 4 + 1 5 +1 6 + 1 1 + 2 2 + 2 3 +2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 1 +3 2 + 3 +3 +3 +4 +3 5+ 3 6 + 3 1 + 4 2 + 4 3 + 4 4 + 4 5 + 4 6 + 4 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 + 5 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 +5 +6 +6 +6

Відповідь: 0,14

Зауваження: Правила округлення ми повторювали при вирішенні текстових завдань.

завдання 15

У випадковому експерименті кидають три гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде 7 очок. Результат округлите до сотих.

Рішення

Для однієї кістки може бути 6 різних результатів випробування (випадання очок 1,2, ..., 6), і для іншого - 6 випадків, і для третьої - 6 випадків, незалежних один від одного. Загальна кількість можливих результатів при киданні трьох кісток визначимо за правилом множення n = 6 × 6 × 6 = 216.
Щоб визначити число сприятливих результатів, подивимося, з яких 3-х доданків можна отримати число 7. Згадаймо, що від перестановки місць доданків сума не змінюється.
або 7 = 1 + 1 + 5 (3 перестановки) або 1 + 2 + 4 (6 перестановок) або 1 + 3 + 3 (3 перестановки) або 2 + 2 + 3 (3 перестановки).
Таким чином, за правилом додавання m = 3 + 6 + 3 + 3 = 15 способів отримати 7, як суму очок на 3-х кістках.
За формулою P (A) = 15/216 = 0,069444444 ≈ 0,07.
(Детальніше про розрахунок m: Спочатку визначаємо з яких доданків може складатися число 7, наприклад, за схемою
,
і маємо в своєму розпорядженні складові по зростанню (щоб виключити помилки із зайвими або відсутніми перестановками). А потім акуратно вважаємо перестановки або за формулами Pk = k! - перестановки без повторень, Pk1, k2, ..., kn = k! / (K1! · K2! · ... · kn!) - перестановки з повтореннями, або міркуванням.
За формулами: P3 = 3! = 1 · 2 · 3 = 6 і P1,2 = 3! / (1! · 2!) = 1 · 2 · 3 / (1 · 1 · 2) = 3.
Міркуванням: якщо 2 числа однакові, а 3-е відрізняється, то воно може стояти на 1-му, 2-му чи 3-му місцях, вийде 3 перестановки, якщо все 3 числа різні, то кожне з них може стояти на 1 му місці, а решту два займати 2-е і 3-е або 3-е і 2-е місця, відповідно, тоді 3 · 2 = 6 перестановок.
Способ II.
Для цього завдання теж можна порахувати варіанти за допомогою таблички, але вже 3-D!
Детальний рішення краще подивитися в анімації.

Відповідь: 0,07

Рішення задач з застосуванням таблиць

Якщо ваш браузер підтримує Flash, то ви можете подивитися анімовані графічні рішення

завдання 14

і завдання 15
способом II - перебором варіантів з використанням таблиць. (Для перегляду натисніть на її зображення.)

Постарайтеся розглянути ці приклади не тільки як рішення конкретного завдання, але і як ілюстрацію до правил додавання і множення результатів випробувань, а також для того, щоб остаточно визначитися з вибором методу рішення для іспиту. Як краще - перебором варіантів або за формулами?

Висновок: завдання з теорії ймовірності цього завдання можна вирішувати за єдиною формулою в одну дію, якщо зумієте підрахувати числа можливих і сприяють подій "на пальцях", схемах, таблицях ... Однак, чим складніше експеримент ( "... монету кидають чотири рази. .. "," ... кидають три гральні кістки ... "), тим більше громіздко" просте "рішення і тим коротше" складне "- з використанням формул, правил і теорем.

Але, якщо Ви все ще допускаєте помилки при вирішенні задач на класичне визначення ймовірності, то, можливо, вони мають таке ж походження, як у відомому анекдоті про динозавра. В такому випадку перейдіть за посиланням до аналізу логічних помилок.

Завдання на правила додавання і множення ймовірностей

на сайті з'явився розділ Завдання на правила додавання і множення ймовірностей Щоб подивитися ці завдання, перейдіть за посиланням.

Рекомендую почитати:

• Лютікас В.С. Школяру про теорію ймовірностей. - М. "Просвіта", 1976.
• Мостеллер Ф. П'ятдесят цікавих імовірнісних завдань з рішеннями. Пер. з англ. - М. "Наука", 1985.

перейдіть по стрілці , Щоб знайти посилання на інші завдання ЄДІ 2018.