незбагненний випадок

Наука і життя // Ілюстрації

Наука і життя // Ілюстрації

<

>

«Лотерея - організована гра на щастя, при якій розподіл вигод і збитків залежить від випадкового вилучення того чи іншого квитка або номера» (Енциклопедичний словник Брокгауза і Ефрона).

Гра ця давно набула масового характеру і стала невід'ємною частиною сучасного життя. І хоча лотерея все більше розширює свої можливості, багато людей як і раніше бачать в ній лише спосіб збагачення. Нехай і не безкоштовний і не надійний. З іншого боку, як зауважив один з героїв Джека Лондона, в азартній грі не можна не рахуватися з фактами - людям іноді щастить. Історія лотерей знає і дивовижні випадки виграшів, і приклади непояснених збігів, і зразки кмітливості учасників і організаторів гри. З деякими з них неодмінно варто познайомитися - хоча б заради цікавості.

любимчики Фортуни

Відомий «спосіб» швидко розбагатіти - виграти в миттєвої лотереї. Як правило, шанси придбати щасливий квиток дуже малі. Тим більше неймовірною виглядає історія робітниці нью-йоркського гастроному Валері Вільсон, яка отримала головний приз двічі. У 2002 році вона виграла мільйон доларів у лотереї Cool Million, маючи шанси 1: 5 200 000. А через чотири роки, взявши участь в лотереї Jubilee, стала володаркою другого мільйона. На цей раз шанси на виграш оцінювалися як 1: 705 600. Який же був її шанс виграти головний приз в обох лотереях? Їх неважко підрахувати: 1: (5 200 000 • 705 600) = 1: 3 669 120 000 000, або приблизно один з 3,7 трильйона. Шанс і справді мізерно малий, в чому можна переконатися, якщо уявити собі іншу лотерею.

Припустимо, що в ній беруть участь всі жителі Землі - 7 млрд людей. Випущені з такої нагоди 3,7 трильйона квитків зі стирані захисним шаром, з яких лише один виграшний, розподілені між ними порівну. За правилами лотереї в регулярному щотижневому розіграші кожен учасник використовує один квиток. Звичайно, перший же відкритий квиток може виявитися виграв. Однак в найсприятливішому випадку очікування випадання щасливого квитка розтягнеться на 10 років!

Треба сказати, в історії американських лотерей (яких безліч, і проводяться вони постійно) було всього кілька випадків з повторним виграшем призів, що перевищують мільйон доларів. Правда, всі вони стосувалися звичайних лотерей, в яких джекпот, як правило, куди більше головного призу в миттєвій лотереї. Примітно також, що один з найбільших виграшів - 254 млн доларів - дістався в 2007 році 84-річному пенсіонеру, чиє прізвище виявилася ... Вільсон. Ось і не вір після цього в збіги.

А рекордсменкою за кількістю виграшів стала Джоан Гинтер з Лас-Вегаса. За 17 років вона перемагала в різних лотереях чотири рази - останній в 2010 році - і «заробила» таким чином понад 20 млн доларів. Згідно з розрахунками, врахувавши були кожен раз шанси виграти, подібне досягнення можливо лише в одному випадку з 36 • 1024, або 36 септілліонов, на тлі яких меркнуть навіть 3,7 трильйона, або 3,7 • 1012!

Як дотепно і вірно зауважив з цього приводу один американський професор математики, фахівець в області теорії ймовірностей, випадок цей вражаючий, проте у ймовірності немає пам'яті! І що характерно, шанси Джоан виграти в черговий лотереї точно такі ж, як і у будь-якого іншого гравця. Іншими словами, вони є завжди, нехай і крихітні. Повинно бути, перед покупкою чергового квитка подібні думки відвідують (більш того - обнадіюють) багатьох любителів лотерей.

заповітна шістка

«Сталося неймовірне!» - так прокоментував директор болгарської лотереї «6 із 42» випадання в двох тиражах поспіль однакових виграшних чисел: 4, 15, 23, 24, 35 і 42. Відбулися ці події у вересні 2009 року, з різницею всього в чотири дня. У простий збіг ніхто, включаючи очевидців, тоді не повірив. Однак ретельна перевірка, проведена під особистим контролем міністра спорту, в чиєму веденні знаходиться лотерея, фактів махінацій не виявила. Чому ж все засумнівалися в тому, що одна і та ж виграшна комбінація чисел випала два рази поспіль випадково?

Зробимо простий розрахунок. Всього способів вибрати шість з сорока двох різних чисел є

Значить, ймовірність випадання єдино можливого виграшного набору чисел в будь-якому тиражі дорівнює

А серйозні сумніви у випадковості випадання однієї і тієї ж числової комбінації в двох тиражах поспіль виникли через те, що ймовірність цієї події вкрай мала, всього

(1,9 • 10-7) 2 = 3,61 • 10-14.

Зауважимо, що в подібних лотереях повторне випадання виграшної набору чисел зрідка все ж відбувається (в тій же Болгарії таке було два-три рази), правда, не в двох тиражах поспіль. А ось цікаво, що зробили б організатори лотереї, якби числа випали двічі, та ще в одному і тому ж порядку? І, до речі, чому дорівнює ймовірність такого подвійного збігу? Тим часом якщо в перший раз шість чисел не вгадав ніхто, то в другій на них поставили відразу 18 чоловік! Надії тих, хто розраховував на великий виграш, не виправдалися: призову суму довелося ділити на всіх. Немов бажаючи спростувати закони теорії ймовірностей, напередодні наступного тиражу багато всерйоз обговорювали, чи не поставити на ті ж числа знову, адже не виключено, що вони випадуть і в третій раз!

Якщо одні гравці в лотерею розраховують перемогти завдяки нібито придуманої ними системі вгадування чисел (рано чи пізно вона, можливо, і дасть результат - за законами все тієї ж теорії ймовірностей), то інші дотримуються примітивних стратегій. Ставиш, наприклад, завжди на один і той же набір чисел і чекаєш, коли він випаде (якщо взагалі випаде). Надходять так американцеві Крісу Хоффману, любителю лотереї «5 з 39», можна сказати, пощастило: чекати довелося всього лише 15 років! Про те, скільки коштів він витратив за цей час на покупку квитків, а головне, покрив чи всі витрати виграш в розмірі 150 тисяч доларів, історія замовчує.

«Безкоштовна» лотерея

До речі, про витрачені гроші. В середині 1990-х роках в США проводилася «поштова лотерея». У ній розігрувався грошовий приз у 5 млн доларів, а шанс отримати його становив 1 з 200 млн. Від учасників було потрібно всього нічого: зробити ставку і відправити її поштою. Дозволялося робити скільки завгодно ставок, але з умовою - висилати їх по одній. Чи варто брати участь в такій «безкоштовної» лотереї?

При таких умовах, звичайно, не варто. І ось чому. Знаючи ймовірність виграшу і його суму, легко підрахувати очікуваний виграш гравця * :

долара,

або 2,5 цента.

Однак витрати на відправку листа куди більше! Інакше кажучи, очікуваний виграш у багато разів менше вкладеної гравцем суми, і їх різниця виражається числом негативним. Так що якщо витрачатися на пересилку багаторазово, дуже скоро доведеться підраховувати збитки.

Як тут не згадати розповідь Антона Павловича Чехова «Життєві негаразди»? Якби його герой відразу прикинув, в скільки йому обійдеться покупка виграшного квитка внутрішньої позики, що брав участь в грошовій лотереї, то всерйоз задумався, чи потрібен він йому взагалі.

Кому ж вигідна «поштова лотерея»? Відповідь очевидна: поштову службу США. За найскромнішими підрахунками, за сприятливого розвитку подій дохід з відправлених листів повинен був перевершити заявлений приз як мінімум в десять разів.

народні лотереї

І в Росії є свій цікавий досвід. Так, у нас прижилися лотереї з речовими призами. Недарма їх часто називають «народними». Ось лише один із прикладів. Чого тільки не придумують транспортники, щоб змусити пасажирів платити за проїзд! Навесні 2010 року в Барнаулі проводилася стимулююча лотерея «Щасливий квиток». У ній розігрувалися номер і серія разових проїзних квитків на трамвай і тролейбус. Призи видавалися «натурою»: подарунковими картками гіпермаркету електроніки, місячними проїзними на міський транспорт і тому подібним. Чи варто говорити, що за три тижні проведення лотереї число «зайців» різко скоротилося, а доходи транспортників (при скромних в общем-то витратах) відчутно зросли!

Буває, сам процес гри захоплює не менше, аніж бажання отримати приз, особливо коли можливість виграшу закладена в кожен квиток. Про це заявляють, наприклад, організатори моментальної «Всеросійської житлової лотереї». А далі, як і належить в рекламі: «Не вірите? Чи не хочете ризикувати? Все ще сумніваєтеся? Тоді ми йдемо до вас! »І не просто так, а з розумним пропозицією потренуватися для початку на віртуальних лотерейних квитках.

Правила гри прості. У квитку дев'ять рядків (поверхів), по два ігрових вікна в кожній; в одному з них заховано «щасливе число», яка дорівнює загальній кількості виграшу (вона вказана на захисному шарі). Завдання просте - вгадати це число, відкривши тільки одне вікно в рядку. Таким чином, рухаючись через підрядник від низу до верху, можна за бажанням відкрити від одного до дев'яти вікон. При першій же невдачі гра припиняється, квиток вважається невиграшних. Так наскільки справедливо заяву організаторів? Ясно, що ймовірність вибору «щасливого числа» на кожному кроці одна і та ж - вона дорівнює одній другій - і по ходу гри убуває в геометричній прогресії:

А яка середня сума виграшу, яка припадає на один квиток? Якщо зробити всього один крок з дев'яти, то вона складе

якщо два кроки, то

якщо три, то

і далі буде тільки зменшуватися (через те, що ймовірність виграшу спадає значно швидше, ніж зростає призова сума), а програш, навпаки, буде збільшуватися.

Скільки не тренуйся, а передбачити результат гри в кожному конкретному випадку неможливо. А ось сісти за комп'ютер все ж варто. Якщо досить довго експериментувати з віртуальними квитками і фіксувати результати, можна помітити, як проявить себе «закон великих чисел» - зі збільшенням числа випробувань частота появи події (випадання великого грошового призу) наближається до його ймовірності, а остання, як ми переконалися, невелика.

Маючи квиток на руках, розсудливо обмежитися вгадування чисел у другій-третій рядках і скромним виграшем. Очевидно, так само розсудили багато учасників лотереї. А на що завжди розраховують її організатори? Як і в будь-який азартній грі - на людські слабкості і невміння вчасно зупинитися. Тому вже на квитках наступної партії «на численні прохання гравців» була виділена рядок з неспаленої сумою (на сьомому поверсі), а також додалося нове правило: якщо на п'ятій або шостій рядку виявиться відкритим вікно з символом «+», гра закінчиться, а ви отримаєте втішний приз - 50 рублів. Організаторам лотереї в винахідливості не відмовиш, чи не так? Як думаєте, чи стали правила чесніше і зросла після цих нововведень продаж квитків?

непростимий промах

Чи припускають організатори лотерей прорахунки? Не повірите, але і таке трапляється. Наступна історія сталася в одному американському штаті 20 років тому. Картки чергового тиражу лотереї «6 із 44» продавалися по 1 долару, в той час як призовий фонд становив на той момент 27,9 млн доларів, і майже всі вони припадали на джекпот.

Кілька інвесторів зрозуміли, що зможуть добре заробити, викупивши і заповнивши картки усіма можливими комбінаціями шести з сорока чотирьох чисел. Вони врахували додаткові витрати і ризики (зокрема, вивчивши статистику попередніх розіграшів, з'ясували: в 120 випадках переможців не виявилося, в 40 був один переможець, ще в 10 - два) і заодно оцінили прибуток. Для здійснення задуманого залучили 2,5 тисячі дрібних інвесторів з різних країн, а також групу людей для роботи з картками. У підсумку через брак часу вдалося використати лише 70% карток від запланованої кількості, але і цього вистачило, щоб виграти головний приз. Але ж пощастило!

У чому полягав фінансовий прорахунок організаторів лотереї, який спонукав інвесторів піти на змову? І які були, за їхніми підрахунками, загальний очікуваний виграш і прибуток з одного вкладеного долара? (Другорядними витратами можна знехтувати.) Прорахунок був в тому, що організатори лотереї продавали лотерейні картки за невигідною для себе ціною. Насправді її слід було збільшити в чотири рази. Дійсно, для гарантованої перемоги потрібно заповнити

карток. Призовий фонд - 27,9 млн доларів. Значить, картка повинна коштувати хоча б

27 900 000 7 059 052 ≈ 3,95 долара ** .

Не дивно, що ціна 1 долар здалася інвесторам дуже привабливою. В ідеалі дохід з неї становить 2,95 долара.

Як показують розрахунки, загальний очікуваний виграш дорівнює

а прибуток з одного вкладеного долара

Навіть з урахуванням всіх витрат дохід виявився б величезним!

Неважко здогадатися, чим закінчилася ця історія. Дізнавшись, що головний приз дістався групі інвесторів, організатори лотереї спочатку не хотіли виплачувати виграш. Але після нетривалих юридичних суперечок були змушені визнати, що причин для відмови немає. В результаті їм довелося дорого заплатити за власний промах. Випадок винятковий і досить повчальний.

доводи розуму

Так чи варто брати участь в лотереях, сподіваючись швидко розбагатіти? Чи варто покладатися на випадок в гонитві за легкими грошима? Пощастить чи ні - велике питання. У лотереї регулярно грають мільйони людей по всьому світу, а перемагають одиниці. Але в одному можна не сумніватися - в будь-якій лотереї завжди виграють організатори.

Ніяких надійних стратегій вгадування чисел в лото або виявлення щасливого квитка в миттєвій лотереї не існує, крім як заповнити всі картки або скупити всі квитки. Але це можливо лише за умови, що гравці об'єднають зусилля, і має сенс робити, тільки якщо призовий фонд значно перевищує вартість усіх квитків, на що розраховувати не доводиться.

У лотереї типу «поштової» організатори і гравці вирішують дві обернені задачі: перші підбирають комбінацію, яку не вгадає ніхто, а другі її старанно відгадують, - і спостерігати за цим «змаганням» все ж цікавіше, ніж за випадковим випаданням чисел в лото. Які шанси на успіх у тих і інших в теорії? А на практиці? Як не дивно, різні: не секрет, що ніяк не зв'язані між собою учасники нерідко ставлять на одні і ті ж комбінації, а будь-якого роду збіги і повтори на руку організаторам: майже завжди можна прорахувати найбільш ймовірний «коло» таких комбінацій.

Організатори лотереї зацікавлені в тому, щоб в ній брало участь якомога більше народу. При відповідному очікуваному виграші і прийнятну ціну на квитки будь призовий фонд швидко окупиться за рахунок проданого кількості квитків (про те, яка їх частка припадає на той чи інший виграш, гравцям, звичайно, невідомо). На продаж впливають і розмір призу, і ймовірність виграшу, а її можна варіювати, змінюючи правила гри. Так, якщо ця ймовірність досить велика (а в такому випадку виграш завжди малуватий) або, навпаки, занадто мала, продаж лотерейних квитків падає. Одним словом, успіх лотереї багато в чому залежить від уміння організаторів відшукати ту «золоту середину» між величиною призів і шансом виграти, яка забезпечила б їм великий дохід. І цим мистецтвом вони прекрасно володіють, будучи знайомі і з психологією любителів азартних ігор, і з основами теорії ймовірностей.

І, нарешті, головний аргумент розуму, не тільки підтверджений багатовіковим досвідом, а й науково обгрунтований: у всякій азартній грі кожен раз все вирішують везіння і випадок, але чим більше граєш, тим більше програєш.

Словарікк статті

Поєднання - вибірка k елементів з n наявних (k ≤ n), при якій їх порядок не важлива. Число всіляких сполучень з n елементів по k позначається і обчислюється за формулою

(За визначенням n! = 1 × 2 × 3 × ... × n).

Випадкова подія - подія (результат, результат випробування), яке об'єктивно може відбутися або не відбутися в даному випробуванні.

Імовірність події A - число, що виражає міру об'єктивної можливості настання випадкової події A; визначається як відношення числа m результатів випробування, що сприяють цій події (що тягнуть за собою його наступ), до числа n всіх рівно можливих випадків, тобто одно .

Випадкова величина - змінна величина X, яка може приймати те чи інше значення в залежності від випадку.

Математичне сподівання (або середнє значення) випадкової величини X, що приймає кінцеве число значень x1, x2, ..., xn, - число, що дорівнює сумі творів цих значень на відповідні їм ймовірності p1, p2, ..., pn, тобто

x1p1 + x2p2 + ... + xnpn.

Коментарі до статті

* Середня сума виграшу, яка припадає на один квиток. Визначається як сума добутків можливих виграшів на ймовірності їх випадання.

** Мінімальна ціна лотерейного квитка дорівнює математичному очікуванню виграшу гравця. В даному прикладі «дрібні» виграші, по суті які не впливають на результат, в розрахунок не бралися.

***

Від редакції. Ви можете придбати нову книгу автора статті в нашому інтернет-магазині .